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| 切頂8面体 (ケルビンの立体) |
正方形の面でつなげる | 正6角形の面でつなげる |
切頂８面体のことを、「ケルビンの立体」ともいいますが、これは、単独で空間を充填できる形です。 これを１単位として、ポリキューブのようにつなげたものを考えます。 こういったパズルは、前例がないわけではないのですが、ポリキューブのように系統立てた考察はなされていないようです。そこで、これをポリキューブに倣い、「ポリケルビン」と名づけて少し研究することにしました。
つなげ方としては、正方形の面でつなげる場合以外に、正６角形の面でつなげる場合が考えられますが、今回は、正方形の面でつなげる場合を考えています。この場合、ポリキューブと同様のつなげ方になります。
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| 切頂8面体 (ケルビンの立体) |
正方形の面でつなげる | 正6角形の面でつなげる |
ポリケルビンのおもしろいところは、正方形に並べたとき、その隙間に、１回り小さい正方形を乗せることができることです。積み重ねることで、ピラミッドが作れます。 さらに、立方格子状のものを作ったときには、その中に１回り小さい立方格子を入れることができます。
 の上に  を乗せることができる。 |
 の中に  を入れることができる。 |
以下のピースの名称は、ポリキューブでの名称に倣っています。
ポリキューブでは、1単位のものには「m」、2単位のものには「d」、3単位のものには「a」「b」という名称が与えられており、4単位で高さが１のものには、その形から「i」「l (小文字エル)」「n」「o」「t」という名称が、高さが2のものには、「x」「y」「z」という名称が与えられています。また、5単位で高さが1のものには、やはり形から「F」「I」「L」「N」「O」「T」「U」「V」「W」「X」「Y」「Z」の名称が与えられています。
なお、ここでは、何単位かが分かるように、頭に数字をつけて、(1-m) のように表すことにします。
「ポリケルビン35」では、●の10ピースを選択することにしました。
なお、ポリキューブでは、有名な組み合わせとして、3x3x3の立方体に組める「ソーマキューブ」（●に相当する7ピースを使用）があります。
また、4単位の8種類(●に相当するピース)全てを使用したものは、4x4x2 の直方体に組むことができ、「テトラ」（という名称で商品化もされています。
| １単位 | 1段 | 1種 |  (1-m)● |
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| ２単位 | 1段 | 1種 |  (2-d) |
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| ３単位 | １段 | 2種 |  (3-a)● |
 (3-b)●● |
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| ４単位 | １段 | 5種 |  (4-i)● |
 (4-l)●●● |
 (4-n)●●● |
 (4-o)●● |
 (4-t)●●● |
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| ２段 | 3種 |  (4-x)●●● |
 (4-y)●●● |
 (4-z)●●● |
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| ５単位 | １段 | 12種 |  (5-F) |
 (5-I) |
 (5-L) |
 (5-N) |
 (5-P) |
 (5-T) |
 (5-U) |
 (5-V) |
 (5-W) |
 (5-X) |
 (5-Y) |
 (5-Z) |
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| ２段 | 17種 | （省略） | ||||||
「立方格子の中に一回り小さい立方格子を入れる」ということを基準に考えますと、以下の表より、9, 35, 91, 189 単位の組み合わせが候補になります。
| 13 = | 1 |
| 23 = | 8 |
| 33 = | 27 |
| 43 = | 64 |
| 53 = | 125 |
そこで、以下のピース構成を考えました。
ポリケルビン9
(13 in 23)1単位〜3単位のものを全て使うと、9単位。ただし、(3-a)は2x2x2の中に納まらないので、(1-m)と(2-d)に分割。
結果として、(1-m)が2個、(2-d)が2個、(3-b) が1個。計5ピース。これは簡単すぎますね。 ポリケルビン35
(23 in 33)上記の●のピース構成。方針としては、「ソーマキューブ」と「テトラ」のピースを含むこと。そこで、4単位のもの全てに(3-b)を加えると、35単位。ただし、(4-i)は3x3x3の中に納まらないので、(1-m)と(3-a)に分割。
結果として、(1-m)、(3-a)、(3-b) と、(4-i) を除く4単位のもの7種類。計10ピース。このくらいが一番おもしろいと思います。試作はこちら。 ポリケルビン91
(33 in 43)方針としては、「テトラ」＋「プレイナーペンタキューブ」。これだと92単位になってしまう。また、(5-I)はそのままでは4x4x4の中に納まらない。そこでまず、(5-I)を(1-m)と(4-i)に分割する。すると、(4-i)が2つになるので、片方を省く。これで88単位になる。これに(3-b)を足して91単位。さらに、(4-i) を (1-m) と (3-a) に分割すると、ポリケルビン35のセットを含むことができる。
結果として、ポリケルビン35に、(5-I) を除く5単位1段のもの11種類と、もう1つ (1-m) を追加したもの。 計22ピース。ここまで来るとかなり難しいです。 ポリケルビン189
(43 in 53)1単位〜5単位のピース全て。これで186単位。3単位不足するので、(1-m) と (2-d) を1つずつ追加してもよい。
計43ピース。ペンタキューブ29種類は、合計145単位となるため、5x5x5の中に全てを収めることができません。しかし、ポリケルビンだと全て収めることができるのです。そればかりか、1〜5単位のピース全てを収めることができる...、と思います (解の検証はしていませんが、隙間が３単位もあるので楽観視しています)。 ぴったり189にならないのは惜しいところです。
ともあれ、これは「究極のポリケルビン」と言ってよいと思います。ただし、相当難しいはずで、作者としても遊びたくありません。